2019年宁波大学2610泛函分析博士研究生考试大纲考博大纲
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2019 年宁波大学博士研究生招生考试初试科目
考 试 大 纲
科目代码、名称: 2610 泛函分析
一、考试形式与试卷结构
(一)试卷满分值及考试时间
本试卷满分为 100 分,考试时间为 180 分钟。
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)
相应的位置上。
(三)试卷题型结构
证明题、计算题
二、考试科目简介
泛函分析是现代数学分析学的重要分支,其广博深厚的理论体系、高度概括的理论方法
以及广泛的应用价值对现代科学技术的各个领域都产生重大影响。泛函分析综合了函数论、
几何和代数的观点与方法,研究无穷维空间上的函数、算子理论,以更加抽象的纯形式的方
法解决了分析学中的诸多问题。本课程是数学系研究生进入现代数学学习和研究很重要的专
业基础课。本课程主要以线性泛函分析中的空间论、算子和泛函论和谱论为主要内容。
三、考试内容及具体要求
1.距离空间
(1) 距离空间的概念,内容包括定义,例子(函数空间和序列空间),点列的收敛性,映射
的连续性,内容包括开(闭)球,内点、开集、领域等概念,距离的等价性,映射的连续性
等;
(2) 距离空间的闭集,内容包括距离空间的闭集,集合的闭包,集合的稠密性和距离空间的
可分性,列紧集和距离空间的列紧性;
(3) 距离空间的完备性,内容包括 Cauchy 列,完备距离空间的定义,完备空间与不完备空
间举例,距离空间的完备化;
(4) 完备距离空间的性质,内容包括闭集套定理,Banach 压缩映照原理及其应用。
2.赋范空间
(1) 赋范空间的概念,内容包括赋范空间和 Banach 空间定义,例子(函数空间和序列空间),
范数连续性,范数与距离的关系,点列的收敛性;
(2) 完备赋范空间,内容包括赋予不同范数的连续函数空间,赋范空间的完备化,重要的完
备空间错误!未找到引用源。空间和错误!未找到引用源。空间;
(3) 赋范空间的的几何结构,内容包括凸集,子空间和 Riesz 引理;
(4) 有限维赋范空间,内容包括范数等价性,有限维赋范空间的几何特征。
3.内积空间和 Hilbert 空间
(1) 内积空间的基本性质,包括内积、内积空间,内积和范数的关系、内积空间特征、Hilbert
空间的定义,一些典型的内积空间、Hilbert 空间例子;
(2) 正交和正交分解,包括正交和正交补的定义,凸集的最佳逼近,Hilbert 空间正交分解
定理;
(3) 正交系和正交投影,包括内积空间正交系和正交投影定义,Fourier 级数,Bessel 不等
式与 Fourier 级数的收敛性;
(4) 正交基和正交列的完备性,包括正交基和正交列的完备性定义,正交列的完备性的四个
价性描述;
(5) 可分 Hilbert 空间的等距同构,包括线性无关组正交化算法,可分 Hilbert 空间与错误!
未找到引用源。
4.有界线性算子和线性泛函
(1) 有界线性算子和有界线性泛函,包括它们的定义,一些有界线性算子和有界线性泛函的
例子,线性算子有界性和连续性的关系,线性算子赋范空间定义(过程),一些具体有界线
性算子或泛函范数的计算。
(2) 有界线性算子空间的收敛和完备性,内容包括有界线性算子列的范数收敛定义及其等价
性,有界线性算子列的强收敛的定义以及与范数收敛的关系,算子空间(泛函空间)的完备
性。
(3) 一致有界原理,包括 Baire 纲定理,及其各种表现形式,Banach-Steinhaus 一致有界
原理及其逆否命题,有界线性算子空间强收敛意义下的完备性。
(4) 开映射定理与逆算子定理,包括逆算子定义,有界逆算子存在的充分条件,开映射定理
及其证明,逆算子定理,Banach 空间的范数等价定理。
(5) 闭算子和闭图像定理,包括闭算子的定义,与闭图像的等价性,线性算子的闭性,与有
界性和闭定义域的关系,一些重要闭算子的例子,闭图像定理。
5.共轭空间和共轭算子
(1) Hahn-Banach 延拓定理(复形式和实形式)及其几个重要推论,它们在凸集分离中的应
用;
(2) 共轭空间,包括共轭空间的定义,几个重要空间的共轭空间;
(3) Hilbert 空间的共轭空间,包括 Riesz 表示定理,Hilbert 空间的共轭空间在共轭同构
意义下和自身等同,Hilbert 空间的共轭算子,包括它的定义和性质,有界线性算子的值域
与它的共轭算子零空间的关系;
(4) Hilbert 空间中的自共轭的有界线性算子,包括它的定义和性质,几个重要的自共轭的
有界线性算子,有界线性算子的 Cartesian 分解;
(5) Banach 空间的共轭算子,包括它的定义和性质,Hilbert 空间与 Banach 空间的定义轭
算子的关系,空间自反性的定义,几类重要的自反空间,弱收敛及其相关性质,强收敛与弱
收敛的关系;
(6) 线性算子的谱理论,包括定义与例子,预解式、谱半径及计算定理。
四、参考教材或主要参考书
1. 教材
[1] 泛函分析讲义(上册),张恭庆,林源渠著,北京大学出版社,北京,2015.
2. 参考书目
[1] 实变函数与泛函分析概要(第二册),郑维行、王声望编著,高等教育出版社,2010.
[2] 实变函数与泛函分析(下册),夏道行编著,高等教育出版社,2010.
[3] 实变函数与泛函分析基础,程其襄,张奠宙编著,高等教育出版社,2004.
[4] Functional Analysis,Walter Rudin,Mc Graw Hill Education,1999.

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