2019年宁波大学3813抽象代数博士研究生考试大纲考博大纲
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2019 年宁波大学博士研究生招生考试初试科目
考 试 大 纲
科目代码、名称: 3813抽象代数
一、考试形式与试卷结构
(一)试卷满分值及考试时间
本试卷满分为 100 分,考试时间为 180 分钟。
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应
的位置上。
(三)试卷题型结构
证明题。
二、考试科目简介
代数学是现代数学的三大基本理论之一,抽象代数是代数学方向最重要的基础课。代数学建立
的四个基本代数结构:群、环、模和域,已经成为现代数学工作者常用的基本概念。代数学的新方
法,新理论要回答最前沿的数学问题,同时又为最前沿的数学研究提供强有力的研究工具. 考试的
基本要求:(1)考生比较系统地掌握基本代数结构如群、环、模和域的基本概念、基本理论;(2)
掌握研究代数结构的一些基本思想和方法;(3)要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、综合
运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试内容及具体要求
1.群 论
(1) 子群与 Lagrange 定理:子群的定义、性质、判定、例子、构造,集合上的二元关系、等价关系
与划分,利用等价关系导出陪集分解和 Lagrange 定理;Lagrange 定理的应用:元素的阶及计算;
两子群积集的计数公式;共轭关系、中心、中心化子、共轭元的个数;类方程及其应用:p-群有非
平凡的中心;
(2) 循环群:群同态和同构及其意义;固定阶循环群在同构意义下的唯一性;有限循环群的固定阶
子群在通常意义下的唯一性;循环群的生成元和自同构群;
(3) 正规子群、商群、群同态基本定理:正规子群的定义与例子;商群的构造(为什么要商群?)
同态基本定理:表述、意义、证明和应用(子群对应定理和两个同构定理);应用举例:内自同构群
同构于 G/Z(G);
(4) 置换群:变换群的重要性;Cayley 定理;Sn 中元素的表达、奇偶性、阶;对称群与交错群的生
成系;置换的型;共轭类的划分;有限单群;An (n>4)的单性;Sn 的正规子群;
(5) 群在集合上的作用及其应用:群作用的思想;两种定义的等价性;作用的核; 轨道公式;Burnside
引理在不同领域计数中的应用;
(6) Sylow 定理:有限群 Sylow I, II, III 的表述与证明;
(7) 有限生成 Abel 群:归结为有限生成自由 Abel 群(秩)与有限 Abel 群;有限 Abel 群是其 Sylow
子群的直和;素数幂 p^n 阶 Abel 群的同构类与数 n 的划分之间的一一对应;会用初等因子和不变因
子对有限 Abel 群分类;
(8) 可解群与 Jordan-Holder 定理;
(9) 有限生成 Abel 群的结构。
2. 环 论
(1) 环的基本概念:定义;名词与简单性质(交换环,无零因子环,整环,除环,域);
(2) 环同态基本定理:理想的构造;主理想整环(PID);除环上的全矩阵环是单环;商环的构造;
环同态基本定理的意义;
(3) 极大理想与素理想:定义及关系;意义:构造域及整环; PID 中的极大理想和素理想;Zorn 引
理;极大理想和素理想的存在性;
(4) 唯一因子分解整环(UFD):不可约元与素元;UFD 的定义;非 UFD 的例子;
(5) UFD 的等价刻画:PID 是 UFD;
(6) Euclid 整环(ED):定义与例子;环,整环,UFD, PID, ED,域之间的关系;
(7) 多项式环:Gauss 定理:UFD 上的多项式环仍是 UFD;域上多元多项式环不是主理想整环;
(8) 交换环的大根与小根;
(9) 有关交换环的局部化理论;
(10) 链条件。
3. 模 论
(1) 模的定义:子模、子模的交与和;内直和;商模;同态;同态的分解;模的同态环;正合列;
(2) 直积、直和与自由模:直积与直和;内部直和与外部直和之间的关系;直积与直和的同态;自
由模;自由群和可除阿贝尔群;主理想整环上的有限生成模;
(3) 内射模与投射模:大子模和小子模;内射模与投射模的定义及其简单性质;内射包与投射盖;
贝尔判别准则;
(4) 阿廷模与诺特模:定义和特征;希尔伯特基定理;阿廷模和诺特模的同态;诺特环的特征;诺
特环与阿廷环上内射模的分解;
(5) 局部环与模的直和分解:局部环;局部自同态环;单模与半单模;半单环;
(6) 根基与基座:根基与基座;环的根基;有限生成模和有限余生成模的特征;阿廷环和诺特环的
特征;内射模和投射模的自同态环的根基;
(7) 张量积与平坦模:张量积;平坦模。
4. 域 论
(1) 域的扩张:素域;有限扩域的维数;域扩张的方法;单扩域的结构;有限扩域与代数扩域及其
关系;
(2) 分裂域:定义与意义;存在性;同构延拓定理及其证明;利用同构延拓定理证明分裂域的唯一
性;分裂域的 Galois 群的阶;
(3) 有限域:结构定理;有限域上的不可约多项式;Wedderburn 定理;有限域上的一般线性群和特
殊线性群;
(4) 可分扩域:定义;完全域;不可分扩域的存在性;“大部分代数扩域”是可分的 Artin 本原性定
理:有限可分扩域是单扩域;
(5) 正规扩域:定义;有限正规扩域= 多项式的分裂域; 有限 Galois 扩域的定义;有限 Galois 扩
域=可分多项式的分裂域;有限 Galois 扩域:|Gal(E/F)| = [E:F].
5. Galois 理论
(1) Galois 理论的基本定理:群和域的反序对应关系;Artin 引理;正规性引理;Galois 理论的
基本定理及其证明;
(2) 方程的 Galois 群:方程的 Galois 群作为根集上的(可迁)置换群;有理数域上只有两个非实的
复根的素数次不可约多项式的 Galois 群;纯粹方程的 Galois 群;Galois 反问题;
(3) 代数方程的根式可解性:根式可解的含义;Lagrange 预解式;Galois Theorem (利用 Galois
理论的基本定理怎样将代数方程的根式可解性归结为其 Galois 群的可解性)。
四、参考教材或主要参考书
1.聂灵沼,丁石孙,代数学引论(第二版),高等教育出版社,2000
2.T.W. Hungebford, Algebra(有中译本,书名《代数学》),GTM 73, Springer-Verlag.

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